U to je vrijeme Aleksandrija bila središte prirodnih znanosti, što je tada obuhvaćalo astronomiju, matematiku, medicinu i filologiju. Kasnije se vratio u Sirakuzu i tamo ga je kralj Sirakuze, Hijeron, zatražio da mu kaže ima li u zlatnoj kraljevskoj kruni i srebra. Arhimeda je dugo mučio taj problem. Jednog dana, ušavši u kadu da se okupa, opazio je kako se razina vode podigla. Odmah je izašao iz kupaonice i pojurio ulicama Sirakuze, vičući „eureka!”, što znači „našao sam!”. Arhimed je riješio Hijeronov problem. Najprije je, naime, izmjerio koliko je kruna teška. Potom je pronašao grumen zlata i grumen srebra, koji su, svaki pojedinačno težili koliko i kraljevska kruna.
Zatim je spustio krunu u posudu s vodom i izmjerio za koliko se razina vode izdigla. To isto učinio je i s grumenom zlata. Da je kruna bila izrađena od čistog zlata, voda bi se podigla do iste visine. Međutim, postojala je razlika, pa je Arhimed, izmjerivši i visinu što ju je postigao grumen srebra, mogao izmjeriti kakav je točan odnos između zlata i srebra u kruni.
Zakon specifične težine, ili Arhimedov zakon, kaže da svaki predmet, potopljen u tekućini, biva potisnut naviše silom koja je jednaka težini istisnute tekućine. Po Arhimedu, masa istisnute tekućine proporcionalna je njenom obujmu. Znači ako dva tijela iste mase, a različitog obujma, uronimo u tekućinu tijelo većeg obujma istiskuje više tekućine, trpi veći uzgon i postaje lakše od tijela manjeg obujma. Ovim je dokazano da tijelo većeg obujma (zlatna kruna) ima manju gustoću (dodatak srebra).
Također treba napomenuti da je Arhimed izumio i mnoge naprave koje su, u njegovo doba, korištene u ratne svrhe. Kada su Rimljani napali grad Sirakuzu s mora i s kopna, 214. godine prije naše ere, branitelji grada uspjeli su ih zadržati skoro tri pune godine, služeći se Arhimedovim ratnim naprava¬ma. Tako je taj matematičar izmislio katapulte, kojima su gađali Rimljane.
Arhimed je napisao i više knjiga o fizici, a poznavao je i načelo poluge. Arhimeda je ubio jedan rimski vojnik i osvajanja Sirakuze, kako predaja ka bio zadubljen u svoje geometrijske figure. Posljednje riječi su mu bile: „Ne dirajte moje krugove“.
